1.서 론

실선의 저항 성능을 추정하기 위해 수 미터 크기의 모형 선 성능을 실험적으로 계측하거나 수치적으로 계산하는데, 실선과 모형선의 상사성(similarity)을 만족시키기 위해 조파 특성을 기반으로 하는 Froude 수(Fn)를 이용하여 모형선의 속도를 결정한다. Fn을 기반으로 하는 상사성에서는 길이 축척비의 제곱근에 비례하여 모형선의 속도가 결정되므로 필연적으로 Reynolds 수(Rn)의 차이에 따른 유동 특성의 부 동성이 발생한다(Lee, 2016a). 대표적인 차이는 구상 선수에 서 나타나는 유동 특성으로, 실선의 경우 높은 속도와 큰 길 이 척도로 인해 구상 선수에서 난류가 완전 발달된 상태인 반면 모형선의 경우 상대적으로 낮은 속도와 작은 길이 척 도로 인해 층류, 천이 혹은 난류 유동 특성이 나타난다. 이 렇게 실선과 모형선에서 유동 특성의 차이가 발생할 경우 점성에 의한 벽면 마찰 저항 특성이 매우 상이하여 실선의 저항 성능을 추정하는데 심각한 오차를 초래할 수 있다. 따 라서 모형선의 선수부에 완전 발달된 난류 유동을 생성함으 로써 실선의 저항 성능을 보다 합리적으로 추정하기 위해 모형선의 구상 선수에 스터드, 사포 등과 같은 난류 촉진기 를 설치하는 연구가 많이 이루어졌으며, 난류 촉진기의 설치 방법에 대한 가이드라인도 제시되어 왔다(Hughes and Allan, 1951; NPL Report 10/59, 1960; ITTC-2002). ITTC-2002에서는 스 터드를 이용한 난류 촉진기의 경우 스터드 직경(D) 1/8 inch, 높이(H) 0.1 inch 등으로 크기에 대한 규격 뿐만 아니라 선수 부에서 1 inch의 스터드 설치 간격에 대한 가이드라인을 제시 하였다. 난류 촉진기의 설치에 의해 모형선의 선수부에서 충 분한 난류 경계층을 얻을 수 있다는 모형 시험에서의 가정은 선체 저항 해석을 위한 수치 해석에도 적용되었다. 기존 연 구 결과에서 보듯이 Reynolds-averaged Navier-Stokes(RANS) 방 정식을 사용하여 저항 해석을 수행하는 경우 난류 에너지 생성항의 여러 모델이 존재하는데 이 중에서 모형선의 구상 선수에서 완전 발달된 난류 상태를 얻을 수 있는 모델을 선 택함으로써 모형 시험 결과와 유사한 저항값을 얻을 수 있 었다(Park et al., 2013; Lee and Lee, 2014).

산업체를 포함한 각 기관에서는 ITTC-2002의 가이드라인 이나 혹은 자체 경험을 바탕으로 모형선에 난류 촉진기를 사용해 왔으며, 많은 경험을 바탕으로 설계 속도와 같은 높 은 속도에서는 스터드나 사포 등의 난류 촉진기를 이용해 선수부에서 완전 발달된 난류를 얻을 수 있다는 가정은 타 당하게 받아들여져 왔다. 그러나 실선 성능 추정을 위한 3 차원 해석의 형상 계수(form factor)를 얻기 위해 낮은 속도 에서 저항 시험을 하는 경우나 혹은 최근 이슈가 되고 있는 최소 추진 동력(minimum propulsion power)에 대한 IMO 규 정(MEPC.1/Circ.850/Rev.1 2015)을 만족시키기 위해 매우 낮은 속도에서 모형 시험을 수행할 경우 스터드나 사포가 충분히 난류를 촉진할 수 있는가에 대해서는 체계적인 연구가 수행 된 바가 없다. 따라서 최소 추진 동력에 대한 모형 시험 및 수치 해석으로부터 신뢰도 높은 연구 결과를 얻기 위해서는 저속에서 난류 촉진기 주위의 유동 특성이 어떻게 나타나는 지에 대해 면밀히 연구할 필요가 있다. 난류 촉진기에 의한 유동 천이는 비정상 거동이 매우 중요하게 작용하므로 RANS 해석 방법보다 대형 와 모사(large eddy simulation, LES) 나 직접 수치 모사(direct numerical simulation, DNS)등의 고정 도 해석 방법을 사용하는 것이 바람직하다. 이 때 난류 촉진 기 주위 유동 해석 결과의 신뢰도를 높이기 위해서는 격자 구성이 매우 중요한데, 난류 촉진기 주위에서는 비균질 (inhomogeneous)한 3차원 유동 특성이 나타나므로 횡방향 (spanwise direction)으로 통계적 균질 특성을 보이는 일반적인 벽면 난류 유동의 DNS 해석에서 사용하는 격자 구성(Δx⁺≈20, Δy⁺_wall≈0.2, Δz⁺≈5)을 적용하기는 어렵다(Kim et al., 1987; Kim et al., 2003). 또한 격자 수에 따른 수치 효율성 측면을 고려할 때 LES 계산을 수행하는 것이 합리적이므로 난류 촉 진기 주위의 비균질한 유동의 LES 해석에 적합한 격자 구성 에 대해 체계적인 연구 및 검증이 선행되어야 한다.

기존 연구에서 수행하는 일반적인 격자 검증의 경우 공간 차분법의 정확도에 따른 격자의 불확실성 해석을 위해 모든 방향으로 동일한 비율만큼 커지거나 작아진 격자에서 얻어 진 해석 결과를 Richardson 외삽법을 통해 분석하는 방법을 사용하였다(Wilson et al., 2001; Choi et al., 2010; Seo et al., 2016). 본 연구의 주요 목적은 비균질한 유동 특성에 대해 각 방향의 격자 밀집도가 스터드 후류의 유동 특성에 미치는 영향을 분석하고, 이를 바탕으로 첫 번째 스터드와 두 번째 스터드를 모두 포함하는 방대한 계산을 가장 효율적으로 수 행할 수 있는 격자 구성을 찾는 것이다. 이를 위해 스터드 후류에서 와도 분포를 분석함으로써 주유동 방향의 최소 및 최대 격자 크기, 벽면 수직 방향의 격자 크기, 횡 방향 격자 크기를 결정하였다. 효율적인 격자 구성을 찾은 이후 기존 의 격자 검증 방법과 동일하게 모든 방향으로 동일하게 2 배만큼 커지거나 작아진 격자에서 얻어진 유동 해석 결과를 Richardson 외삽법을 통해 분석하였다. 본 연구에서 격자의 밀집도를 2 배의 비율로 변경하는 것은 기존 연구에서 언 급한 바와 같이 격자 불확실성을 효율적으로 수행하기 위함 이다(Stern et al., 2001). Richardson 외삽법을 적용할 경우 일 정한 비율로 격자 간격을 2 단계에 걸쳐 변경해야 하는데, 3 차원 해석 시 각 방향으로 2배의 비율로 격자를 변경하면 각 단계 별로 격자수가 8배 증가하므로 격자 불확실성 검증 에 많은 시간이 소요되는 단점이 있다. 따라서 본 연구에서 도 2 배의 비율을 적용함으로써 3차원 해석 시 전체 격자 수가 3배 미만으로 증가하도록 하였다.

2.수치 해석 기법

저항 시험에서 사용하는 모형선의 경우 아래 Fig. 1에서 보는 바와 같이 난류 촉진을 위해 선수부의 위치에 두 줄의 스터드를 설치한다. 난류 촉진기에 의한 천이 유동을 해석 하기 위해서 Fig. 1에 붉은 색으로 표시한 영역에 대해 수치 해석을 수행하여야 하지만, 선체 길이나 선형에 따라 첫 번 째 스터드에서 두 번째 스터드까지의 거리나 곡률이 모두 상이하므로 본 연구에서는 연구 결과의 일반적인 응용성을 위해 아래 Fig. 2와 같이 평판에 규격화된 스터드가 설치된 경우에 대해 LES 해석을 수행하였다.

첫 번째 스터드와 두 번째 스터드를 모두 포함하는 계산 의 경우 주 유동 방향(x), 벽면 수직 방향(y), 횡 방향(z)의 계 산 영역은 각각 L_x = 150D, L_y = 15D, L_z = 8D와 같다. 여기서 D는 평판에 설치된 스터드의 직경(1/8 inch)을 의미한다. 본 연구의 목적은 격자 구성이 스터드 주위의 유동에 미치는 영향을 분석하고, 신뢰도 높은 해석 결과를 효율적으로 얻을 수 있는 격자 구성을 찾는 것이므로 본 연구에서는 첫 번째 스터드를 포함하는 작은 계산 영역(l_x = 18D, l_y = 7.5D, l_z = 3D) 을 설정하여 아래 Table 1과 같이 격자의 밀집도를 변화시키 며 스터드 후류에서 나타나는 유동 특성을 비교하였다. 각 방 향의 격자 간격을 벽면 단위로 무차원화하기 위해 Rn_θ = 650 의 난류 경계층 마찰 속도를 사용하였다. 여기서 θ는 경계층 의 모멘텀 두께를 의미하며, 유동 유입 속도는 U_∞ = 1.007 m/s 를 사용하였다. Rn_θ = 650의 난류 경계층 마찰 속도를 기준으 로 삼은 이유는 U_∞ = 1.007 m/s일 때 스터드 후류에서 완전 발 달하는 난류 경계층이 Rn_θ = 650에서 관찰되었기 때문이다.

Δx⁺= 7.6 ~ 40.6, Δy⁺_wall = 0.253, Δz⁺ = 7.6이 되는 CaseM을 기 준으로 x 방향으로 격자 간격이 2 배만큼 커지거나 작아 지는 경우를 각각 CaseCX와 CaseDX로 나타내었다. 그리고 y 방향으로 격자 간격이 2 배만큼 커지거나 작아지는 경우 를 CaseCY와 CaseDY, z 방향으로 2 배만큼 커지거나 작아 지는 경우를 CaseCZ와 CaseDZ로 표시하였다. 본 연구에서는 대형 와 모사 기법을 적용하고 있으므로 CaseM의 주 유동 방향 격자 Δx⁺_max은 직접 수치 모사에서 사용하는 Δx⁺= 20의 두 배가 되도록 결정하였으며, Δz⁺ 역시 직접 수치 모사에서 사용하는 Δz⁺= 5보다 50 % 정도 증가한 Δz⁺= 7.6을 사용하였 다. 정체점 및 박리점이 존재하는 스터드 근처 격자에서 종횡 비가 증가할 경우 격자에 따른 물리량 분포의 왜곡이 발생 하는 것을 방지하기 위해 Δz⁺에 근거하여 스터드 부근에서 격자 종횡비가 1이 되도록 Δx⁺_min을 설정하였다. 본 연구에서 수행한 대형 와 모사의 경우 벽 함수를 사용하지 않기 때문 에 난류 경계층의 직접 수치 모사에서 사용하는 것과 유사 한 Δy⁺_wall을 사용하여 벽면 근처에 격자를 밀집시켰다. 본 연 구에서 사용한 CaseM의 격자 배치도는 아래 Fig. 3과 같다.

공개 소스 라이브러리인 OpenFOAM을 이용하여 난류 촉 진기 주위 유동에 대해 LES 해석을 수행하였으며, 난류 경 계층을 정도 높게 모사하기 위한 OpenFOAM의 수치 기법 및 결과의 신뢰도는 난류 경계층을 직접 수치 모사한 기존 연 구에서 검증된 바 있다(Lee, 2016b). LES 계산 수행을 위한 아격자(sub-grid scale) 모델은 Smagorinsky 모델을 사용하였으 며, 시간 차분은 2차 정확도의 Crank-Nicolson을 사용하였다. 격자면에서의 물리량을 계산하기 위한 공간 내삽은 선형 (linear) 기법을 적용하였으며, 물리량 구배 역시 선형 기법을 적용하였다. OpenFOAM을 이용하여 난류 경계층을 직접 수 치 모사한 기존 연구에서 보고된 바와 같이 수치 안정성을 위해 제한자(limiter)를 사용할 경우 공간 차분법의 정확도가 떨어져서 벽면 마찰 속도와 압력/속도 변동량의 오차가 커지 므로 본 연구에서는 제한자는 적용하지 않았다(Lee, 2016b). 다만 수치 안정성을 위해 Courant 수가 4보다 작도록 계산 시간 간격을 설정하였다. 본 연구에서 사용한 수치 기법은 아래 Table 2에 정리하였다.

첫 번째 스터드와 두 번째 스터드를 모두 포함하는 계산 의 경우 횡 방향 경계 조건은 주기적(periodic) 경계 조건을 적용하였으나, 격자 테스트를 위한 본 연구에서는 횡 방향 계산 영역이 작아져서 주기적 경계 조건을 적용할 수 없으 므로 Neumann 경계 조건을 적용하였다. 횡 방향 계산 영역 이 실제 현상보다 축소되었고 횡 방향 경계 조건에 의한 비 물리적 영향이 존재하므로 본 연구에서 수행된 결과가 실제 현상과 다소 차이가 있을 수 있다. 그러나 본 연구에서 수행 하는 모든 경우에 대해 동일한 조건이 적용되고 있으므로 격자의 밀집도가 수치 결과에 미치는 상대적 영향은 정성적 으로 분석 가능하다. 입구 경계 조건은 모형선 선속 U_∞ = 1.007 m/s를 기준으로 Rn_θ = 250에 해당하는 층류 경계층을 적용하였다. 계산 영역의 위쪽과 출구쪽은 모두 Neumann 경 계 조건을 적용하였다. 초기 조건에 의한 영향을 제거하기 위해 T_transient = 0.2D/U_∞ 를 과도 응답으로 보았다. 과도 응답 시간은 벽면 난류 구조의 대류 속도(0.5~0.7U_∞)를 기준으로 전체 계산 영역을 5~7회 정도 지나는 시간에 해당한다. 과도 응답 이후 T_transient = 0.2~6.0D/U_∞ 동안 속도, 압력, 와도에 대해 시간 평균을 취하였다.

3.결과 및 토의

3.1.스터드에 의해 생성되는 유동 구조

일반적인 난류 경계층은 벽면 근처에 주 유동 방향의 와 가 다수 존재하며, 와 구조의 중심은 y⁺≈20에 위치하고 와 구조 사이의 횡 방향 간격은 z⁺≈100 정도이다. 이러한 주 유 동 방향의 와 구조는 벽면의 저속 영역을 벽면으로부터 밀 어내거나 고속 영역을 벽면으로 유입시키는 역할을 하므로 벽면 근처에서 고속 혹은 저속 실 구조(high- or low-speed streaky structures)가 관찰된다. 따라서 스터드와 같은 장치를 사용하여 난류 경계층을 빠르게 촉진하고자 할 경우 주 유 동 방향의 와 구조와 같은 벽면 구조를 얼마나 효율적으로 촉진할 수 있는가가 매우 중요한 요소이다. 스터드에 의한 유동 구조 생성을 살펴보기 위해 CaseM에서 주 유동 방향 와도(ω_x)의 시간 평균 분포를 Fig. 4에 나타내었다. 그림에서 파란색은 ω_x(mean) = -250s^-1일 때의 분포이며, 노란색은 ω_x(mean) = +250s^-1일 때의 공간 분포이다. 평면도(top view)와 정면도 (front view)에서 보듯이 스터드의 위쪽에서 두 개의 와 구조 가 대칭으로 발생하며, 스터드의 옆에서 두 개의 와 구조가 발생한다. 스터드의 옆에서 발생하는 두 개의 와 구조는 계 산 영역의 횡 방향 길이 및 횡 방향 경계 조건에 의해 강도 나 위치가 실제 현상과 다소 차이가 있을 수 있으나, 와 구 조가 발생하는 원리 및 유동 교란 원리는 정성적으로 분석 가능하다. 스터드 주위에서 생성된 이러한 와 구조는 스터 드의 후류로 흘러가면서 유동을 교란시킴으로써 벽면 난류 구조를 야기하고 난류 경계층을 촉진한다.

스터드에 의해 주 유동 방향의 와 구조가 발생하는 원리 를 보다 단순하게 도식화하면 Fig. 5와 같다. 스터드의 후류 에서 형상 효과에 의해 속도가 낮아지는 영역(wake)으로 속 도가 높은 외부 유동이 유입되면서 스터드의 위쪽에서 대칭 형태로 두 개의 와 구조가 나타나고 스터드의 좌우에서 역 시 두 개의 와 구조가 나타난다.

스터드에서 발생하는 주 유동 방향의 와도가 난류 촉진에 중요한 역할을 하기 때문에 비균질한 유동 특성에 대해 각 방향의 격자 밀집도가 미치는 영향을 분석하기 위해서는 스 터드의 후류에서 격자에 따라 주 유동 방향의 와도가 어떻 게 변하는지를 관찰하는 것이 합리적이다. 본 연구에서는 Fig. 6에서 보는 바와 같이 스터드 후류의 세 위치(Δx = 0, 3D, 6D)에서 물리량을 비교하고자 한다. 여기서 Δx는 스터드의 끝 부분에서 각 위치까지의 거리를 의미하기 때문에 스터드 의 중심을 x= 0으로 설정할 경우 각 위치는 x = +0.5D, +3.5D, +6.5D가 된다. 각 위치의 물리적 의미는 다음과 같다. Δx = 0 에서 주 유동 방향의 와도가 생성되기 시작하며 Δx = 3D에서 는 스터드의 위에서 생긴 두 개의 와도와 양 옆에서 생긴 두 개의 와도가 공존하는 영역이다. 그러나 Fig. 6(b)에서 보듯 이 주 유동 방향의 와도 변동량의 경우 스터드의 좌우에서 생긴 와도의 변동량보다 스터드 위에서 생긴 두 개의 와도 변동량이 더 크다. 6D에서는 스터드의 위에서 생긴 와도가 주로 남아 있으나 와도 변동량은 횡 방향으로 균일해진다.

3.2.각 방향의 격자 밀집도가 미치는 영향

각 방향의 격자 밀집도가 스터드에서 발생하는 유동 구조 에 미치는 영향을 분석하기 위해 Fig. 7에서 보는 바와 같이 y = 0.25D가 되는 위치에서 물리량을 추출하였다.

스터드로 인해 생성된 주 유동 방향 와 구조의 중심이 후 류에서 y = 0.25D 부근에 위치하고 있으므로 격자의 밀집도 에 따른 난류 촉진 영향을 분석하기에 합리적이다. 주 유동 방향의 격자 밀집도에 따라 주 유동 방향 와도의 시간 평균 (ω_x(mean)) 분포가 어떻게 변하는지를 Fig. 8에 나타내었다. 그 림에서 가로축은 스터드의 중심을 z = 0으로 정하였을 때 횡 방향 위치를 스터드의 지름으로 무차원화한 거리를 의미한 다. 주 유동 방향의 격자 밀집도에 상관없이 Δx = 0, 3D, 6D의 후류 영역에서 평균 와도가 잘 일치하는 것을 볼 수 있다. 이는 스터드에 의해 발생하는 와 구조가 Δx의 크기 변화에 영향을 받지 않음을 의미한다. 따라서 스터드 근처에서는 CaseM에 해당하는 격자 간격 Δx⁺_min = 7.6을 사용하더라도 스 터드에 의해 발생하는 와 구조를 충분히 정도 높게 예측할 수 있으며, 스터드로부터 충분히 떨어진 곳에서는 Δx⁺_max = 40 를 사용하는 것이 바람직할 것이다.

Fig. 9는 벽면 수직 방향의 격자 밀집도에 따른 주 유동 방향의 와도 변화를 보여준다. 가로축과 세로축이 의미하는 바는 Fig. 8과 동일하다. Δx⁺_min의 변화가 스터드에 의해 발생 하는 와도에 큰 영향을 끼치지 못하는 바와 같이 벽면 수직 방향의 격자 밀집도 역시 스터드에 의해 발생하는 주 유동 방향의 와도에 영향을 주지 못함을 알 수 있다. 격자 생성에 있어 스터드 근처에서 발생하는 와도 및 수치 효율성을 고 려한다면 CaseCY의 벽면 격자 간격을 사용하는 것이 바람직 하지만, 스터드 후류에서 생성되는 난류 경계층의 벽면 마 찰 저항을 정도 높게 해석하기 위해서는 Δy⁺_wall = 0.253을 사용 하는 것이 바람직하다. 스터드에 의해 발생하는 와도를 더 정도 높게 모사하기 위해 난류 경계층의 LES 해석에서 사용 하는 벽면 격자 간격보다 더 조밀한 격자 간격을 사용할 필 요는 없을 것이다. 다만 벽면 난류 구조를 모사하도록 격자 가 구성되어 있는 본 연구와 달리 벽 함수(wall function)을 사 용하는 LES의 경우에는 벽면 격자 간격이 매우 큰 상태이므 로 Δy⁺_wall 값의 변화가 스터드에 의해 발생하는 와도에 미치 는 영향을 분석할 필요가 있다.

마지막으로 횡방향 격자 간격이 스터드에 의해 발생하는 와도에 미치는 영향을 Fig. 10에 나타내었다. 스터드 후류에 서 주 유동 방향의 와도 분포가 Δx⁺나 Δy⁺_wall에 큰 영향을 받 지 않은 것과 달리 그림에서 보듯이 Δz⁺의 크기에 따라 와도 분포가 다소 차이를 보인다. CaseCZ의 경우 스터드 근처에 서 주 유동 방향의 와도가 약하게 생성될 뿐만 아니라 후류 로 갈수록 빠르게 약화됨을 확인할 수 있다. 그러나 Δz⁺= 7.6 과 Δz⁺= 5.37에 해당하는 CaseM과 CaseDZ의 경우, 스터드 근 처에서는 CaseM의 격자를 사용할 때보다 CaseDZ의 격자를 사용할 때 와도가 다소 높게 생성되지만 후류로 갈수록 매 우 비슷한 경향을 보임을 확인할 수 있다. 따라서 첫 번째 스터드와 두 번째 스터드를 모두 포함할 수 있는 계산 영역 에서 매우 많은 격자를 생성하여 LES 해석을 수행할 경우 Δ z⁺= 7.6을 사용하는 것이 보다 효율적일 것이다. 상기와 같은 격자 기준을 적용하여 첫 번째 스터드와 두 번째 스터드를 모두 포함하는 L_x = 150D, L_y = 15D, L_z = 8D 계산 영역에서 LES 해석을 수행할 경우 약 1,517만개의 격자가 생성된다.

3.3.격자 검증

이상에서 살펴본 바와 같이 Δx⁺_min = 7.6, Δx⁺_max = 41, Δy⁺_wall = 0.25, Δz⁺= 7.6의 격자 크기를 사용하는 CaseM의 격자 구성 이 물리적 측면에서 혹은 수치 효율성 면에서 가장 바람직 할 것으로 판단된다. 따라서 CaseM의 격자 검증을 위해 Table 3과 같이 모든 방향으로 2 배만큼 격자 간격을 키우 거나 줄이면서 유동 해석을 수행하였다.

격자 검증을 위한 물리량은 여러 가지 후보군이 존재할 수 있지만, 본 연구에서는 Fig. 11에서 보는 바와 같이 Δx = 3D에 해당하는 스터드 후류의 z/D = ±1.0~ ±1.5 영역에서 나 타나는 평균 압력 계수(Cp(mean) = (p(mean)-p(ref))/(0.5ρU 2)의 크기 와 스터드에 작용하는 힘을 기준으로 격자 검증을 실시하였 다. 와 구조를 대표하는 값에는 기존 연구에서 논의된 바와 같이 Q, λ₂, λ_ci 등의 와 구조 식별 인자, 와도의 크기, 압력의 크기 등이 있다(Hunt et al., 1988; Jeong and Hussain, 1995; Zhou et al., 1999). 그러나 와 구조 식별 인자는 속도의 공간 미분을 기반으로 하는 고유치이므로 국소적 변화가 너무 심 하여 격자 검증을 위한 물리량으로 선정하기 어렵고, 와도 의 크기 역시 Fig. 8~10에서 보듯이 물리량을 평균하는 시간 을 아주 길게 설정하지 않을 경우 국소적 변화가 큰 특성을 지니고 있다. 따라서 와 구조 식별 인자와 와도의 경우 시간 평균에 따른 불확실성을 고려할 때 정량적인 격자 검증에 적용하기 어려운 한계가 있다. 반면 압력의 경우에는 국소 적 변화가 심한 와도에 비해 전역적인 변화 특성을 보이므 로 후류에서 발생하는 와 구조가 격자 크기에 따라 어떻게 변하는지를 관찰하기에 적합할 것으로 판단하였다. 스터드 에 작용하는 힘의 경우에는 스터드의 직경과 높이, U_∞ 로 무 차원화한 항력 계수를 사용하였다.

격자 밀집도에 따른 평균 압력 계수의 수렴성을 검사하기 위해 압력 계수 차이 및 항력 계수 차이를 계산하였다. 표현 의 편의성을 위해 CaseD, CaseM, CaseC에서 얻어진 물리량을 각각 S1, S2, S3으로 나타내면 수렴비(R_G)는 아래 식(1)과 같 이 표현할 수 있다. 격자의 밀집도에 따라 평균 압력 계수와 항력 계수의 변화와 수렴비를 Table 4에 나타내었다. R_G는 각각 0.5225와 0.3526이므로 단조 수렴(monotonic convergence) 상태로 볼 수 있다.

격자 검증을 위해 적용한 격자 밀집도 비율은 로 거의 일 정하다고 볼 수 있으므로 정도 차수(order of accuracy)는 아래 식(2)와 같이 계산할 수 있다.

상기 식으로부터 계산된 압력 계수와 항력 계수에 대한 p_G = 1.873, 3.008이며, 보정 계수는 각각 C_G= 0.967, 1.092가 된 다. 본 수치 해석에서 2차 정확도의 공간 차분법을 사용하였으 므로 보정 계수를 구하기 위해 이론적인 정도 차수는 p_G,th = 2 를 적용하였다. Richardson 외삽법을 이용하여 오차를 추정할 경우 식(3)을 이용하여 δ^*_G1= -0.028, 0.014를 구할 수 있다.

따라서 기존 연구의 절차에 따라 0.875 < C_G < 1.125에서 유효 한 식(4)로부터 격자의 비보정 불확실성을 계산하면 평균 압 력 계수와 항력 계수에 대한 격자 불확실도는 U_G= 0.0311, 0.0165가 되며, CaseD의 물리량에 대해 상대적으로 평균 압 력 계수의 경우 21.6 %, 평균 항력 계수의 경우 2.8 %의 격자 불확실성을 갖고 있다고 볼 수 있다(Xing and Stern, 2008). 비 보정 불확실성은 현재 격자 밀집도에서 예상되어지는 수치 해의 불확실성을 의미하며, 보정 불확실성은 충분히 밀집된 격자를 사용했다고 가정했을 때 예상되어지는 불확실성을 의미한다.

보정 불확실성은 0.75 < C_G < 1.25에서 유효한 식(5)로부터 계산할 수 있으며 평균 압력 계수와 항력 계수에 대한 격자 불확실도는 U_GC = 0.00287, 0.00169가 되며, CaseD의 물리량에 대해 상대적으로 평균 압력 계수의 경우 2 %, 평균 항력 계 수의 경우 0.3 %의 격자 불확실성을 갖고 있다고 볼 수 있다. 평균 압력 계수의 보정 불확실성이 2 %로 다소 크게 나타나 고 있으나 이는 격자 크기에 따라 아격자 모델의 필터 크기 가 결정되는 대형 와 모사 기법의 모델 특성과 국소적 물리 량을 목적 함수로 선택하였기 때문에 나타나는 현상으로 추 정할 수 있다. 즉 비보정 불확실성 및 보정 불확실성이 작게 나타나기 위해서 격자 크기에 따른 물리량의 변화가 작아야 하는데, 항력 계수의 경우 스터드에 작용하는 힘의 적분량 이므로 오차가 상쇄될 수 있는 반면 국소적 압력 분포를 목 적 함수로 선택할 경우 격자에 따른 물리량의 변화가 크게 나타날 가능성이 높다. 또한 대형 와 모사 기법에서 아격자 모델의 필터 크기가 격자 크기에 의해 결정될 경우 격자가 변함에 따라 아격자 모델의 점성항(ν_SGS)이 격자에 의해 직 접 영향을 받게 되므로 격자 크기 변화에 따라 물리량의 변 화가 크게 나타날 가능성이 높다. 보정 불확실성을 감소시 키고자 한다면 조밀한 격자를 사용해야 하나, 이 경우 직접 수치 모사에 해당하는 격자 밀집도를 갖게 될 것이다.

최종적으로 계산되어진 격자의 비보정 불확실성은 물리 량이 충분히 수렴될 만큼 밀집된 격자를 사용했느냐를 평가 하는 척도이므로 스터드에 작용하는 항력과 같이 CaseC, CaseM, CaseD의 값의 차이가 작은 상태에서 단조 수렴 상태 에 있다면 격자의 비보정 불확실성 역시 매우 작게 평가될 것이나 후류에서의 압력 계수와 같이 CaseM과 CaseD의 물리 량(평균 압력 계수)이 어느 정도 차이를 보이는 상태라면 충 분히 밀집된 격자가 아니라고 판단되어 격자의 비보정 불확 실성이 커지는 결과가 나타난다. 격자의 비보정 불확실성을 순수하게 격자의 크기에서 기인하는 불확실성으로 보기 위 해서는 격자의 비보정 불확실성이 계산 영역의 크기에 따른 영향, 경계 조건에서 발생하는 오차로 인한 영향, 시간 평균 에 따른 오차 영향으로부터 독립적이거나 혹은 각 오차에 의 한 영향을 정량적으로 분석할 수 있어야 하나 현실적으로 매 우 어려운 일이다. 따라서 CaseM이나 CaseD에서 사용하는 격 자가 후류에서의 평균 압력 계수에 있어 다소의 비보정 불확 실성을 갖고 있다 하더라도 단조 수렴성을 보이는 상태에 있 으므로 격자 구성이 타당하게 적용되었다고 볼 수 있다.

4.결 론

스터드 주위의 천이 유동을 수치적으로 타당하게 모사하기 위한 격자 구성 및 수치 기법을 정립하기 위해 OpenFOAM을 이용하여 대형 와 모사를 수행하였다. 각 방향의 격자 밀집 도를 2 배만큼 증가시키거나 감소시키면서 스터드 후류에 서의 와도 변화를 살펴본 결과, 주 유동 방향 및 벽면 수직 방향의 격자 밀집도는 스터드 후류의 와도에 영향을 미치지 않은 반면 횡 방향 격자 크기를 변화시킬 경우 스터드 후류 에 와도 특성이 변하는 것을 볼 수 있었다. 특히 횡 방향 격 자 간격을 크게 할 경우 스터드 근처에서 주 유동 방향의 와 도가 약하게 생성될 뿐만 아니라 후류로 갈수록 빠르게 약 화됨을 확인할 수 있었다. 스터드 후류에서의 유동 특성과 난류 유동에 대한 기존 LES 연구 결과를 검토할 때 Δx⁺_min = 7.6, Δx⁺_max = 41, Δy⁺_wall = 0.25, Δz⁺= 7.6의 격자 크기를 사용하는 것이 수치적 효율성과 물리적 타당성 측면에서 바람직할 것 으로 판단된다. 이러한 격자 구성을 기준으로 모든 방향의 격자 밀집도를 2 배만큼 증가시키거나 감소시키면서 격자 검증을 수행하였다. 격자 검증을 위해 Δx = 3D에 해당하는 스 터드 후류에서 와 구조의 중심 압력 계수의 시간 평균 크기 및 스터드에 작용하는 힘을 대상 물리량으로 선정하였다. 그 결과 평균 압력 계수와 항력 계수의 비보정 불확실성이 각각 21.6 %와 2.8 % 정도로 추정되었으며, 보정 불확실성은 각각 2 %와 0.3 %로 추정되었다.