1.서 론

선체 횡관성모멘트는 선박의 횡운동 특성의 표현에 필수 적인 요소로서 선체의 복원성 및 횡운동 특성의 수식에 적 용되는 관성모멘트 값은 해당 선박의 실제에 가능한 근사한 것이어야 한다. 그러나 선박의 형상은 단순하지 않고 화물 과 선용품의 적재 등으로 무게 중심과 질량분포의 형태가 수시로 변할 뿐 아니라 해당 선박의 자세한 설계 데이터를 구하는 것 역시 용이하지 않으므로 관성모멘트의 크기를 직 접 계산을 통해 구하기는 현실적으로 어렵다.

이로 인해 실용적으로는 선체의 전체 질량과 일정값의 관 성반지름(Gyradius)를 정하여 관성모멘트를 구하는 방법이 이용되고 있으며 이 경우 관성 반지름은 선종에 따라 약간 의 차이가 있으나 해당 선체의 폭에 대략 0.4를 곱하는 근사 값이 사용되거나(Krüger and Kluwe, 2008; Papanikolaou et al., 1997) 혹은 선체의 폭과 길이 및 흘수를 함께 포함하는 간이 식들이 제시되고 있다(IMO Resolution A.749, 1993).

한편, 잔잔한 해면상태의 항내 선박에서 화물의 이동 등 으로 선체 경사가 발생할 때 선교의 경사계(Clinometer)와 스 톱워치 등을 이용하여 횡요 상황을 관찰할 수 있는 조건이 라면 보다 직접적인 방법으로 해당 선박의 횡관성모멘트를 구하는 것이 가능할 것으로 유추된다. 횡요 응답에서의 횡 요 주기와 감쇠모양은 선체의 GM값과 관성모멘트 크기에 의해 고유한 형태로 나타나게 된다는 점에서 이러한 응답으 로부터 역으로 횡관성모멘트를 계산하는 일반식을 도출할 수 있을 것으로 보아진다.

본 연구에서는 횡요 응답의 관찰로부터 대상 선박의 횡요 주기 및 횡요 주기마다 감소되는 경사각의 진폭 감쇠비가 확인되면 제시된 일반식에 이를 대입함으로써 횡관성모멘 트를 계산할 수 있다는 것을 나타내었으며 이와 함께 횡관 성모멘트가 횡요 주기뿐 아니라 진폭의 감쇠 형태에 의해서 달라지는 관계를 살펴보기로 한다.

2.선체의 횡운동

2.1.횡운동 방정식

Fig. 1은 ∅만큼 횡경사되어 선체 중심축 Y 가 Y ′로 된 경우 GM과 GZ의 관계를 나타내고 있으며 B는 부심에 해당한다.

여기서 선체 복원모멘트의 팔길이로 작용하는 GZ는 G와 BM 간 거리이고 이를 ∅의 함수인 GZ(∅)라 하면 잔잔한 해 상상태에서 선체 경사각 ∅는 다음의 미분방정식으로 나타낼 수 있다(Surendran and Venkata Ramana Reddy, 2003; Vredeveldt and Journée, 1991).

위 식에서 J 는 횡운동 관성모멘트, 선형계수로 나타낸 b 는 선체의 횡운동 감쇠계수(Damping coefficient)이고 또한, Δ와 g는 배수량과 중력가속도이다. 한편, ∅가 작은 범위에서는 GZ (∅) ≈GM·이므로 식(1)은 식(2)의 선형방정식과 같아 진다.

여기서 식(2)의 해인 ∅의 응답을 나타내면

가 되어 초기각 ∅'₀의 경사각은 지수함수적으로 감소하게 되 고 ∅'₀ ′는 초기 각속도이다. 또한, 식(2)에 대한 특성방정식은 ω_n과 ζ이 각각 고유각속도와 감쇠율일 때 식(4)의 라플라스 (Laplace)함수이므로

식(3)의 ω는 다음 식(5)의 식이 되고

또한, 식(2)로부터 ω_n은 다음과 같아진다.

2.2.진폭감쇠비와 ζ의 관계

초기각이 ∅'₀이고 ∅'₀ ′=0일 때 식(3)의 경사각 ∅는 Fig. 2의 실선으로 표시한 곡선과 같은 감쇠맥동의 시간응답을 나타 내게 된다. 여기서 시간 T 는 감쇠맥동의 주기이고 점선으로 표시되고 있는 곡선은 감쇠가 없을 때인 파형으로서 T_n은 이때의 맥동주기인 고유 횡요 주기에 해당하는 것으로서 ω_n = 2π/T _n의 관계가 된다.

Fig. 2에서 ∅가 최대 최소로 되는 시점은 각각 t₀ , t₁ , t₂ , · ·, t_n 일 때이고 n번째의 시점을 t_n 이라 하면 ∅의 횡운동 진폭감쇠비(Rolling decay ratio) λ는 다음과 같아진다.

또한, t_n 은 식(3)의 미분함수가 0이 될 때이므로 이러한 관계로부터 λ는 식(8)의 식으로 나타낼 수 있다.

따라서 식(8)로부터 감쇠계수 b 는 양의 수로서 다음 식이 된다. 여기서 λ는 1보다 항상 작으므로 lnλ값에 절대값을 취하는 경우 부호의 혼동을 피할 수 있어서 편리해진다.

한편, 식(2)로부터 2ζω_n = b/J 의 식이 되고 식(9)의 결과 를 이 식에 대입하면 ζ는 식(10)과 같이 ω와 ω_n의 비율 및 λ 의 함수가 된다.

2.3.고유각속도 ωn의 함수

횡운동의 고유각속도 ω_n가 정해지면 식(6)의 관계로부터 관성모멘트 J가 구해질 수 있다. 한편, ω_n은 식(5)로부터 식 (11)이 되므로

식(11)의 ζ에 식(10)을 대입하면 식(12)가 얻어지며 이로 인 해 ω를 ω_n으로 변환할 수 있다.

2.4.관성모멘트와 관성반지름의 일반식

관찰에 의한 횡요 주기가 T 이면 ω = 2π/T 의 관계이므로 이를 식(12)에 대입하면 ω_n은 식(13)과 같이 T 와 λ만의 함 수로 변환 된다.

한편, 위의 식(13)은 식(6)과 같아야 하므로 이로부터 횡관 성모멘트 J는 식(14)로 나타낼 수 있다.

또한, 관성모멘트 J와 관성반지름 k는

의 관계이므로 관성반지름은

가 된다. 따라서 배수량과 GM을 이미 알고 있고 해당선박이 나타내는 횡요주기와 진폭감쇠비가 관찰된다면 횡관성모멘 트는 식(14)의 일반식을 통해 계산이 가능해진다. 또한, 관성 반지름은 식(16)에 의해 횡요주기 T 와 GM의 제곱근에 비례 하여 커진다는 것을 보여준다. 만일 식(16)에서 선폭이 B 일 때 k의 값을k≒ 0.4 × B 로 정하고 감쇠가 없는 λ=1의 상태 를 가정한다면 이때는 lnλ = 0가 되므로 횡요주기는 고유 횡요주기T _n과 같아지고 이 조건에서 T_n은 식(16)으로부터 다음 식으로 나타낼 수 있다.

3.주요 제원에 대한 특성

3.1.특성 그래프

횡요 관찰 대상으로 사용된 선박의 주요 제원은 Table 1과 같으며 시운전 시 자료를 인용한 것이다. 배수량이 9,490.8m³ 이고 GM이 1.2m인 때를 기준으로 횡요주기 T 와 진폭감쇠 비 λ에 따른 관성모멘트 변화를 식(14)에 의해 그래프로 나 타내면 Fig. 3과 같다.

Fig. 3의 곡선 A, B, C는 주기 T 가 0에서 20s 시간범위에서 감쇠가 서로 다른 상태의 비교를 위해 λ=0.75, λ=0.25, λ=0.1 와 같이 진폭감쇠비가 크고 작은 경우를 설정하여 J값을 나 타낸 것으로서 관성모멘트의 단위는 kt• m²이다.

또한, 관성반지름 k의 함수를 나타내는 식(16)을 동일한 방법으로 그래프로 나타내면 Fig. 4와 같아진다. 곡선 D, E, F는 각각 λ=0.75, λ=0.25, λ=0.1로 진폭감쇠비가 주어지는 조 건에서의 k값 변화이다.

3.2.결과의 분석

관찰된 횡요 주기 T 가 16s인 경우를 살펴보면 Fig. 3에서 λ=0.75인 때인 곡선 A를 기준으로 할 때 J의 크기는 720 kt• m²를 나타내는 한편, λ=0.25인 곡선 B에서는 680 kt• m²로 더 작은 값이 되고 있다. 여기서 λ의 수치가 크다 는 것은 감쇠가 더 작음을 의미하므로 이로부터 감쇠가 클 수록 J는 작은 값이 됨을 알 수 있다. Fig. 3의 전체 영역에 서 주기 T 가 길어지면 관성모멘트는 이것의 제곱에 비례하 여 커지는 동시에 동일한 T 의 값에서는 진폭감쇠비 λ가 클 수록 더 작은 관성모멘트 크기를 나타낸다. 이러한 결과는 횡요주기만으로 관성모멘트를 계산하기보다는 간섭 관계에 있는 진폭감쇠비가 함께 고려되어야 실제에 보다 근접한 값 을 얻을 수 있음을 보여 준다. 또한, Fig. 4는 횡요 주기와 진 폭감쇠비에 의해 관성반지름을 도시적으로 나타내고 있으 며 주기가 증가하는 경우 관성반지름은 주기에 단순 비례하 는 관계로 커지는 한편, 같은 값의 주기인 조건에서는 진폭 감쇠비가 클수록 관성반지름은 더 작아지고 있다. 한편, 관 성반지름이 선폭의 0.4배 정도인 것으로 간이 계산하는 경우 의 값은 모델선박의 선폭이 22.4 m이므로 8.96 m가 된다. 이 결과를 Fig. 4의 세로축에 적용하면 곡선 D를 기준으로 한다 면 세로축 8.96 m일 때의 횡요주기는 약 16.5s 정도가 된다는 것을 알 수 있다.

4.결 론

조용한 수면에서 선체의 횡요 응답을 관찰할 때 얻어지는 횡요 주기 및 매 주기마다 감소되는 경사각의 진폭 감쇠비 를 확인하면 이것을 통하여 해당 선체의 횡관성모멘트 크기 를 보다 구체적으로 계산할 수 있는 일반식의 도출이 가능 할 것으로 추정하였다. 먼저, 횡관성모멘트의 일반식을 얻기 위해 관찰에 의한 실제 주기 및 진폭 감쇠비를 토대로 선체 의 고유각속도가 계산되었으며 이 결과 횡관성모멘트는 대 체로 횡요 주기의 제곱에 비례하므로 지배적인 영향을 받는 한편, 진폭감쇠비에 의해서도 부분적으로 크기가 달라진다 는 것을 알 수 있었다.

횡관성모멘트 및 관성반지름의 일반식이 나타내는 이러 한 특성을 모델선박에 적용한 결과 이로부터 얻어지는 그래 프에서도 추정되었던 서로의 관계가 해석적으로 설명될 수 있었다. 이를 통하여 횡요 주기와 함께 진폭감쇠비가 함께 적용되어야 보다 자세한 관성모멘트의 크기가 얻어진다는 것이 확인되었으며 또한 구해진 일반식이 선체 관련 계산에 있어서 실용적으로 사용될 수 있음을 나타내었다. 이를 토 대로 향후 선박의 선종 별 동특성의 분석에 제시된 횡관성 모멘트의 일반식을 활용하기 위한 연구가 과제로 남아있다 고 하겠다.