1.서 론

해양구조물에서 알루미늄 합금 사용은 최근 들어 증가하 는 추세이며 사용영역은 선박, 해양플랜트 등 다양한 분야 에 채택되어 이용하고 있다. 구조용 강( ) 대신 알루미늄 합 금을 채택한 이유는 중량을 낮추어 속도와 적재화물 증가, 연료절감 등을 할 수 있어 채택하고 있다. 중량 낮추는 다른 방법으로는 박판 부재를 이용하여 구조물을 설계하는 것이 다. 박판 부재는 다양한 구조물에 폭넓게 사용되면서 중량 을 낮추기 위한 필요성 등에 의해 점차 박판 부재 사용이 확 대되고 있으며 이에 따른 초기 구조설계 단계에서 좌굴은 중요한 설계기준이 되고 있다. 따라서 박판 부재의 초기좌 굴, 좌굴 발생 후 면내 강성, 처짐 등을 수반하게 하는 초기 처짐 영향을 정확하게 파악하는 것은 구조 안정성을 확보하 는 데 있어서 중요한 문제이다. 판( ) 부재는 절단, 용접 등 열 가공으로 초기 처짐이 처음부터 잔류응력 등으로 존재하 게 된다. 초기 처짐 형태에 따라 판의 비선형 거동에 상당한 영향력을 미치게 되며 거동형태도 복잡하게 나타난다. 박판 부재는 다수 공학구조요소이며 구조물 제조에 판(plate)과 쉘 (shell)을 사용하는 것은 불가피하다. 이 구조요소는 불안정 해지고 최종 좌굴하중보다 큰 압축하중을 받을 시 좌굴이 발생하며 수명주기 동안 축 압축하중을 경험하게 되어 좌굴 하게 된다. 구조 안정성은 주변 지지조건과 하중조건에 의 존되며 유한요소 솔루션을 이용하여 탄소성 좌굴 후 거동 및 좌굴을 검토하고 있다. 박판 구조의 안정성 해석은 이전 부터 많은 연구자에 의해 수행됐으며 최근, 재료특성, 해석 방법 등 다양한 연구방법을 적용하여 수행되고 있다.

Kristensen(2001)은 알루미늄 합금 판의 붕괴 거동에 관한 시스템 연구를 기반을 두어 수행하고 알루미늄 합금의 최종 강도에 관한 설계 식을 제안하였다. 알루미늄 합금은 해양 구조물에 이용되고 있는 A6082-T6, A5083-F, A5083-O를 적용 하여 주변 지지조건, 용접형태, 초기 처짐 등 관련 변수를 고려하여 다중하중(이하 종 방향 압축하중, 횡 방향 압축하 중, 조합하중 등)에 대한 영향을 검토하였다.

Shariati and Darasi(2012)는 하중영역이 변화하는 축 압축하 중을 받는 유공과 비( )유공 사각형 판에 대한 좌굴 거동에 대해 수치 및 실험검토를 수행하였으며 실험은 INSTRON 8802를 이용하여 수행하여 수치결과와 비교하여 양호한 결 과를 도출하였으며 패치 로딩을 받는 단순지지와 고정지지 조건인 판 부재의 대한 각각 단면속성을 고려한 탄성 좌굴 응력 설계 식을 제안하였다.

Dadrasi(2013)는 탄소성 영역 내 다양한 하중으로써 면내 축 압축하중을 받는 유공과 비( )유공 사각형 판의 좌굴 거 동에 관한 수치 및 실험검토를 수행하였다. 판은 하중 변에 단순지지와 고정지지 조건을 적용하고 비( )하중 변은 자유 지지 조건을 적용하여 기둥 좌굴 형태로 가정하고 초기 처 짐 크기(initial deflection amplitude)를 0.1 mm와 0.48 mm를 반영 하여 초기 처짐 영향을 고려하여 패치 로딩을 받는 유공과 비( )유공 판의 좌굴 거동에 대한 영향을 검토하였다.

Paik and Kim(1998)은 초기처짐과 잔류응력 등의 초기결함 중 초기 처짐만을 대상으로 하여 초기 처짐 크기에 따른 판 의 탄성대변형 거동을 증분 Galekin법에 의한 연구를 수행하 여 판의 면내강성과 초기 항복강도에 대한 초기 처짐의 영 향을 고찰하였다.

본 논문에서 탄소성 영역 내 하중길이 변화에 따른 면내 압축하중(또는 패치 로딩)을 받는 알루미늄 합금 사각형 판 의 좌굴파손모드에 대해 초기 처짐 영향을 고려하여 검토하 였다. 해석 간 주변 지지조건은 단순지지조건을 적용하고 초기 처짐은 정사각형 판의 종횡비(a/b) 1.0 일 경우 고유치 1차 좌굴모드, 직사각형 판(a/b) 2.0-4.0 일 경우 1반파성분이 지배적인 처짐 형태를 보이고 양 끝단은 정현파곡선 중앙 부분은 직선으로 구성된 형태로 가정하여 종횡비(a/b) , 초기 처짐량 비(w/t), 세장비(b/t)에 대해 상용프로그램(ANSYS. Inc., 2000)을 이용하여 탄성 및 탄소성 대변형 시리즈 해석 을 수행하였다.

2.이론적 배경과 해석이론

2.1.좌굴하중과 좌굴거동

Fig. 1에 나타낸 정사각형 판은 면내 압축하중을 받았을 때 판은 평형상태로 존재하게 된다. 면내 압축하중 크기가 증가함에 따라 판 상태는 편평하지 않고 불안정한 상태로 변화하며 중앙 부분 모서리의 면내 변형률은 인장 변형률로 변화한다.

불안정한 상태에 있는 판의 압축하중 크기는 임계 탄성 좌 굴하중 또는 임계 좌굴하중이라 명명하며 식(1)과 같이 지배 미분방정식으로 나타낼 수 있다(Supasak and Singhatanadgid, 2004).

여기서, D = Et³/12(1 - v²) 이며 면내 강성을 의미한다.

주변 지지조건이 단순지지일 경우 임계 탄성좌굴하중은 식 (2)와 같이 나타낼 수 있다(Supasak and Singhatanadgid, 2004).

여기서, m과 n은 좌굴모드를 나타내는 양의 정수이다.

좌굴 현상은 Fig. 2에 나타낸 면내 하중 N_x에 대해 판의 중앙 부분의 면외 변위 w 선도로 나타낼 수 있다. 고전 선형 좌굴이론에서 면내 하중이 영( , zero)일 경우 면외 변위는 초기 처짐이 없는 상태를 유지하며 하중-변위 선도는 좌굴 하중에 도달할 때까지 경로 1(path 1)을 따르고 있다. 분기점 (bifurcation point)은 선형좌굴 경로인 경로 2(path 2)로 정의되 며 식(2)에 나타낸 것처럼 고전 선형좌굴이론으로 얻을 수 있다. 경로 3(path 3)은 후 좌굴(post-buckling)을 나타낸다. 이 경로는 좌굴하중 이후 판 거동 연구에서 중요한 의미가 있 지만 초기 처짐을 가진 실제 판은 경로 1을 따르지 않고 면 내 하중 N_x 을 받는 순간 면외 변위가 발생되어 경로 4(path 4)를 따르게 된다(Supasak and Singhatanadgid, 2004).

2.2.해석이론

선형분기해석은 완전 기하학, 선형 재료거동과 미소변형 등에 기반을 두고 있다. 좌굴은 기하학 참조설정과 극소 변 형(또는 미소변형)을 의미하는 분기( , bifurcation))에 의해 발생하며 이 두 설정은 같은 하중 수준으로 가능하다. 대응 되는 고유치와 고유치 모드를 결정하는 것은 선형해석으로 수행하기에 충분하며 참조 하중 {R}_ref으로 하중을 적용할 수 있으며 관련 응력 강성매트릭스 [K] 는 하중수준에 영향 을 받지 않는다. λ_cr는 하중수준이 아니라 응력분포가 변화 로 적용할 수 있으며 식(3)으로 나타낼 수 있다. 좌굴 변위 {δD}로 적용한다면 식(4)로 정의할 수 있다. 이 두 식을 차 감하면 식(5)로 나타낼 수 있다.

따라서 임계 탄성 좌굴하중 {R}_cr은 가장 작은 해 λ_cr을 기반으로 결정한다. 고유벡터 {δD}는 기하학적 초기 처짐 형태로써 사용되는 고유치 모드 λ_cr에 관련되어 있다.

고유치와 고유치 모드 추출법으로써 블록 란초스(block lanczos)법과 부분 공간 반복(subspace iteration)법을 선택할 수 있다. 블록 란초스법은 대형 대칭 고유치 문제를 해결하는 데 매우 적합하며 통상 부분 공간 반복법을 사용하는 것처 럼 같은 정확성을 가지고 있다. 부분 공간 반복법에 대한 블 록 란초스는 훨씬 많은 메모리를 요구하지만 해석시간이 짧 다. 블록 란초스법은 다수 모드를 추출할 때 적합하며 쉘과 보 요소 같은 다른 요소를 포함하고 있다면 더 효율적 계산 을 수행하여 결과를 도출할 수 있다.

비선형 좌굴해석은 초기 처짐 기하학, 비선형 재료 거동 과 대변형에 기반을 두고 있다. 좌굴 문제의 비선형 특성은 솔루션 전략으로써 증분(incremental)과 반복(iterative)법이 필 요하다. 기하 비선형성은 평형 방정식이 변형 형상에 대해 쓰인 좌굴에 기인하기 때문에 대변형이 발생한다. 재료 비 선형성은 응력과 변형률 함수인 재료 물성치에 기인한다.

일반적으로 비선형 문제로서 선형문제와 같지 않다면 미 지변위 {D}를 구하여 하중 {R}를 산출하여야 한다. 중첩 (superposition)원리가 성립되지 않는다면 변위를 구하여 강성 매트릭스와 미지 변위를 곱( , product) 형태로 나타내어 평 형상태에 있는 하중 {R}로 나타낼 수 있다. 강성방정식 (6) 로 정의할 수 있다.

비선형 지배방정식의 솔루션은 증분법으로 달성시킬 수 있다. 증분법은 단순증분법(SI법), Newton-Rapshon법(NR법), 수정 Newton-Rapshon(mNR법)으로서 이론이 확립되어 있다. Paik et al.(1989)에 의해 대변형이 발생하는 판에 대해서는 불 평형력에 대한 수렴계산을 수행하여야 하며 이 경우 NR법 과 mNR법은 같은 정도를 유지하면서도 계산시간은 mNR법 이 NR법에 비해 약 1/2정도 절감되며 큰 초기 처짐이 존재 하거나 후판일 경우 불평형력이 상대적으로 크지 않기 때문 에 SI법을 사용하는 것이 훨씬 유용하다는 것을 확인하였다. Fig. 3은 하중과 변위의 상관관계를 2차원 형태로 나타내어 NR법을 설명하고 있다. NR법은 매 평형 반복경로 상에서 접선강성(tangent stiffness)을 수정하여 사용하며 하중은 구간 별로 적용한다. 이 방법은 초기 접선강성 [KT] 에 기반을 두 어 반복계산을 수행하며 이로부터 하중 불평형 벡터 {R}_i을 적용 하중과 가정 솔루션에 기초한 평가 하중의 차로 결정 한다. 새로운 평형 반복은 수렴기준에 의존되도록 하중 불 평형 벡터를 영( , zero)에 근사하도록 수행한다. 지배방정 식의 증분 형태로 정의하면 식(7)으로 나타낼 수 있다.

여기서, {D}와 {ΔR}은 미지 증분 변위와 하중벡터이다.

mNR법은 NR과 같게 매 하중증분단계에서 발생한 불평형 력 {Q}을 반복계산으로 소거시키되 매 반복계산 시 필요한 접선 강성은 첫 번째 반복계산 시 것을 그대로 적용한다 (Paik et al., 1989).

면내 압축하중을 받는 판의 좌굴 후 거동에서 통상의 변 위제어법과 하중제어법으로 거동을 추적할 수 없으므로 호 장 증분법을 적용한다. 호장 증분법(arc-length method) 또는 리스크법(Risk's method)에서는 증분 매개변수로서 하중-곡선 의 호장을 증분시킨다. Fig. 4에 나타내는 것와 같이 각 증분 단계의 반복·수렴의 제1단계에서는 전 단계의 결과와 같은 방향으로 하중증분 및 처짐 증분을 가정한다. 이후 반복·수 렴과정에서는 수렴계산의 전( ) 단계의 호장 방향과 직각 방향으로 해를 탐색한다. 이 같은 수렴계산을 불평형력 {Q} 가 충분히 적을 때까지 반복한다(Ko et al., 2003).

수렴기준은 수학적으로 식(8)과 같이 나타낼 수 있으며 반 복구간에서 하중과 모멘트 오차의 SRSS(Square Root Sum of the Squares)가 작용하중의 SRSS의 0.01%가 되었을 때 수렴한 것으로 설정하였다(Oh et al., 2014)

여기서, ||{R}|| 은 잔차(Residual)의 vector norm이며 (ϵ_RR_ref)은 하중 수렴 기준이다.

3.해석모형과 방법

탄성과 탄소성 대변형 이론을 적용하여 알루미늄 합금 사 각형 판 부재의 거동을 해석하였다.

해석모형에 적용한 재료는 Table 1에 나타낸 A6082-T6를 적용하고 모형 제원은 다음과 같다. 사각형 판 형태이며 길 이×폭×두께=a × b × t이며 면내 강성은 D = Et³/12(1 - v²) 이 며 항복응력은 σ₀ 이다.

Table 1에서 나타낸 것처럼 종횡비(a/b) 1.0-4.0, 세장비 (b/t) 250, 62.5, 초기 처짐량 비(w/t) 0.1, 0.2, 0.4, 패치 로딩 (l/b) 0.2-1.0에 대해 총 합계 120 경우의 시리즈 해석을 수행 하였다. 또한, 초기 처짐 형태는 종횡비(a/b) 1.0일 경우 다음 전체 초기 처짐 식(9)과 같이 가정하여 구현하였다(Paik and Kim, 1998).(eq)

종횡비(a/b) 2.0-4.0일 경우 Fig. 5에 나타낸 각형 판의 초 기 처짐은 1반파성분이 지배적인 처짐 형태로 가정하였으며 길이 방향에 있어서 양단으로부터 길이 구간은 정현파 곡 선으로 중앙 부분 a - 2b 구간은 직선 형태로 구성된 것으로 가정하였다. 처짐 형태는 식(10)과 같이 나타낼 수 있다(Paik and Kim, 1998).(eq)

또한, 주변 지지조건은 단순지지 조건으로써 변형 발생 후에도 직선을 유지하며 하중조건은 횡 방향으로 균일 압축 하중과 패치 로딩을 적용하였다.

본 논문에서 수행결과의 신뢰성을 확보하기 위해 Ko(1999) 의 수치해석 결과와 유한요소 해석의 결과를 Fig. 6처럼 비 교하여 매우 양호한 결과를 도출하였다.

4.해석결과 및 고찰

일반적으로 판 부재는 절단 또는 용접 등 같은 열 가공으 로 조립된 것이므로 초기 처짐이 필연적으로 존재한다. 그 러므로 면내 하중이 증가하면 초기 단계부터 굽힘 변형이 발생하며 그 후 하중이 계속 증가하면 이윽고 초기항복이 발생하여 항복이 퍼짐과 함께 면내 강성이 급격히 저하하여 최종강도에 도달한다. 이것은 타( )부재에 하중 분담률을 증가시켜 구조부재가 연쇄적으로 붕괴하여 전체 구조물이 붕괴한다(Ko, 1999). 최근, 구조물의 대형화, 고속화, 경량화 등에 따른 구조설계 시 재료 사용을 고장력강, 알루미늄 합 금 등을 적용하고 있다. 이 재료들은 판의 좌굴강도와 좌굴 후 거동뿐만 아니라 특히 박판을 사용할 경우 2차 좌굴을 포함하는 판의 대변형 거동을 발생시키므로 반드시 파악하 여 구조 안정성 평가를 수행하여야 한다.

4.1.정사각형 판의 탄성대변형

알루미늄 합금 정사각형 판 즉, 종횡비(a/b) 1.0에 대한 거 동에 대해 탄성 대변형 시리즈 해석을 수행하여 Fig. 7처럼 평균압축하중과 판의 중앙 횡 처짐의 관계를 나타낸다. 이 와 같이 초기 처짐을 가진 판이 면내 압축하중(l/b=1.0)을 받 으면 초기 면내 강성이 점차적 감소하여 횡 처짐이 발생하 여 1차좌굴이 발생하지 않고 횡 처짐이 크게 성장하여 A점 에 도달한 후 급작스럽게 B점으로 진행한 후 상단으로 진행 한다. 그 후 거동은 하중을 감소시키면 B점에서 C점으로 진 행되면서 불안정현상이 발생하여 D점으로 진행하는 거동을 보이고 있다. A점에서 B점으로 C점에서 D점으로 진행하는 현상을 천이거동(snap through)이라고 하며 또한, A점에서 B 점으로 진행하는 구간에서 처짐 모드는 1모드에서 3모드로 급작스럽게 변화하며 이런 현상을 2차 좌굴이라고 불린다. 점C에서의 응력을 2차 좌굴응력이라고 부른다. 이와 같은 2 차 좌굴이 발생하게 하는 원인으로서는 횡 처짐이 발생하 였을 때 면외 변위에 대해서 직선을 유지해야하기 때문에 비( )재하변의 중앙부에 인장응력이 작용하고 양단부에 압 축응력이 작용하게 되어 처짐파형을 1차 모드로부터 3차 모드로 변하게 되기 때문이다(Ko, 1999). 또한, 패치 로딩 (l/b=0.2-0.8)도 면내압축하중(l/b=1.0)과 동일하게 면내 강성 이 점차적으로 감소하고 횡 처짐이 발생한다.

Fig. 8은 종횡비(a/b) 1.0인 알루미늄 합금 사각형 판의 탄 성거동을 나타내고 있으며 초기 좌굴지점 에서는 고유치 좌굴모드 1모드를 유지하고 - 지점 구간에서 천이거동이 발생하면서 3모드로 처짐 모드가 변하고 지점에서도 3모 드를 나타내며 처짐이 급격하게 나타내고 있다. 이러한 거 동은 처짐 모드 변화를 동반하면서 구조강성에 치명적인 손 상을 발생시키다.

Fig. 9는 Fig. 8에 각 지점의 처짐 모드 변화를 l/b=1.0과 l/b=0.8상태를 나타내고 있다. l/b=1.0은 전술한 바와 같이 초기 처짐 모드 변화가 2차 좌굴에 의한 천이거동이 발생하 면서 불완전한 1모드에서 안정된 3모드로 급작스런 변화가 발생함을 알 수 있다. l/b=0.8, 즉 패치 로딩이 작용할 경우 초기 좌굴모드 지점에서는 고유치 좌굴모드 1모드를 유지 하며 점차 하중이 증가함에 따라 처짐 모드가 불안전한 1모 드 처짐 모드로 변화하는 것을 알 수 있다. 이것은 하중변에 작용하는 하중길이가 국부 작용함에 따라 하중변 양단에서 굽힘 모멘트로 인해 인장응력이 발생하여 이와 같은 처짐 모드가 나타낸 것으로 생각한다.

4.2.직사각형 판의 탄소성대변형

알루미늄 합금 사각형 판 즉, 종횡비(a/b) 2.0-4.0인 판 부 재에 대해 세장비(b/t), 초기 처짐량 비(w/t) 등을 변화시켜 탄소성 대변형 시리즈 해석을 수행하였다. Fig. 2과 8에서 나 타낸 바와 같이 변위제어법과 호장 증분법을 비교 시 변위 제어법 같은 경우 변위가 증분되는 다음 구간을 초월하여 재 경로를 추적하고 있지만, 이것은 실제적 경로가 아니다. 하지만 호장 증분법은 이 구간에서 하중과 처짐 곡선의 호 의 반지름을 적용하여 수렴 전( ) 단계 호의 반지름 방향과 직각 방향의 해를 탐색하여 경로를 추적하고 있다. 따라서 탄소성 대변형 시리즈 해석 간 모든 해석은 호장 증분법을 적용하여 수행하였다.

패치 로딩 크기와 초기 처짐량 증가에 따른 판의 면내 강 성 변화를 관찰하여 Fig. 10와 Fig. 11에 평균압축하중과 면 내 변위 관계를 나타내고 있다. 초기 처짐이 작은 경우 즉 w/t=1.0에서 하중증가에 따른 초기 좌굴이 발생한 후 면내 강성이 감소하고 있으며 초기 처짐량이 증가할수록 면내 강 성이 점차 감소한다. 특히, 박판에서 후판보다 면내 강성 감 소는 초기 처짐량이 클수록 현저하게 나타내고 있다. 따라 서 구조설계 또는 판( ) 부재 가공 시 면내 강성이나 변위 제한을 두는 부분에 절단, 열 가공 등으로 인해 큰 초기 처 짐이 발생하지 않도록 관심을 가져야 한다.

Fig. 12과 Fig. 13는 종횡비(a/b) 변화에 따른 초기 처짐 크 기와 패치 로딩의 항복강도 영향을 나타내고 있다. 초기 처 짐 크기가 같고 종횡비가 커질수록 항복강도는 감소하고 있 다. 세장비(b/t) 250일 경우 패치 로딩 크기에 따라 항복강도 는 점차 감소하는 경향을 보이고 있으며 세장비(b/t) 62.5일 경우 패치 로딩 크기(l/b) 0.5 이후 종횡비(a/b) 3.0까지는 급 격히 감소하다가 그 이후는 점차 감소하는 경향을 나타내고 있다. 또한, 전술한 바와 같이 판이 박판일수록 초기 처짐 크기에 영향을 받지 않고 후판일수록 훨씬 많은 영향을 받 고 있다. 따라서 Paik et al.(1998)이 나타낸 바와 같이 면내 압 축하중을 받는 판 부재와 같게 패치 로딩을 받았을 때도 유 사한 거동을 나타내고 있는 것을 살펴볼 수 있다. 패치 로딩 도 종횡비를 가능한 한 작게 하는 것이 항복강도 면에서 유 리하다는 것을 알 수 있다.

5.결 론

본 논문에서는 초기 처짐 크기를 고려하여 패치 로딩 크 기에 따른 알루미늄 합금 A6082-T6 사각형 판의 좌굴 후 거 동에 대해 탄성 및 탄소성 대변형 시리즈 해석을 수행하여 종횡비(a/b), 세장비(b/t) 등의 영향을 검토하였다.

판( )은 절단, 용접 등 열 가공으로 인한 초기부터 잔류 응력이나 초기 처짐 등이 존재하게 된다. 초기 처짐 형태에 따라 판의 비선형 거동에 상당한 영향력을 미치게 되며 거 동형태 또한, 복잡하게 나타난다. 따라서 패치 로딩을 받았 을 때 종횡비, 세장비 등을 고려하여 거동에 대한 초기 처짐 영향을 살펴보면 다음과 같다.

차후 다양한 주변 지지조건 영향에 따른 알루미늄 합금 사각형 판의 좌굴 후 거동에 대한 연구를 추가 수행하고 또 한, 종횡비, 세장비, 초기 처짐, 잔류응력 등의 변수에 대한 구체적으로 반영하여 실질적인 연구를 진행하고자 한다.