1서 론

박판부재는 수많은 공학구조요소이다. 이 부재는 자체 최 종강도보다 큰 압축하중을 받았을 때 불안정해지며 좌굴이 발생하는 문제를 지니고 있다. 더욱이, 항공우주, 기계 및 토 목, 해양플랜트 등에 주로 사용되고 있어 구조 안정성에 대 한 영향을 반드시 파악해야 한다(Shariati and Dadrasi, 2012). 이 문제는 박판 및 후판 등에 대하여 전단변형이론과 수치 방법을 이용하여 다음과 같은 몇몇의 연구자에 의해 최근까 지 수행되고 있다.

Sundaresan et al.(1998)은 복합재료 적층 판의 임계 탄성 좌 굴하중에서 국부 모서리 압축하중의 영향을 검토하기 위해 8절점 등가변수 판 요소를 개발하여 단순지지와 고정지지 조건의 다른 하중형태와 하중길이 효과에 대한 연구를 수행 하였다. 개발 요소는 절점 당 다섯 개 자유도를 가지고 있으 며 중앙 대칭조건을 사용하여 임계 탄성좌굴하중계수를 산 출하였다.

Lee et al.(2001)은 국부 모서리 하중을 받는 사각형 판의 임계 탄성좌굴하중계수를 결정하고 비교하였으며 임계 탄 성 임계 탄성좌굴하중계수를 산출 시 자체 개발한 유한요소 해석코드를 사용하여 산출하였다. 해석에 고려한 변수는 Kinney(1957)의 고정계수와 패치 로딩의 폭 계수를 반영하여 수행하였다. 임계 탄성 좌굴하중 계수는 고정계수와 폭 계 수가 증가함에 따라 증가하는 것으로 알려져 왔으나 다른 경향은 판의 모서리 양단 가장자리에서 패치 로딩을 적용한 판은 가장자리 중앙에 집중하중을 적용한 판보다 더 보다 훨씬 안전 한다는 것을 증명하였으며 임계 탄성좌굴하중계 수의 대수학적 재평가에 사용하였다.

Patel and Sahu(2006)는 다양한 국부 모서리 하중과 집중 면 내하중을 포함한 불균일 하중을 받는 곡판의 정적 안정성을 횡 전단변형와 회전관성 효과를 고려하여 유한요소법으로 수행하였으며 해석 시 8절점 등방성 사각형 요소를 채택하 였다. 평판과 곡판의 안정성 거동은 모델형태, 주변지지조 건, 하중 위치와 형태 등에 상당한 영향을 받고 있다는 것을 나타내었다.

Singh et al.(2012)는 균일 축 국부 모서리 압축하중을 받는 중앙 유공판 단순지지와 고정지지 박판 사각형 등방성 판의 탄성 좌굴거동을 나타내었으며 네 가지 형태의 국부 모서리 압축하중을 수행하였으며 탄성 임계 탄성 좌굴하중에 관한 판의 종횡비 효과에 대한 연구로 확장시켜 수행하였다.

Oh et al.(2014)는 알루미늄 합금 플레이트 거더에 대한 관 련 문헌검토 및 분석을 통한 패치 로딩을 받았을 때 플레이 트 거더의 파손모드와 최종하중을 예측하기 위해 유한요소 해석을 통한 탄소성대변형 시리즈 해석을 수행하고 기 실험 모형과 비교하여 만족한 결과를 도출하였다.

본 연구에서 해양플랜트 구조, 선체 상부구조 등에 주로 사용하고 있는 알루미늄 합금 A6082-T6의 재료특성을 반영 한 사각형 판에 대한 패치 로딩의 구조 안정성 문제를 검토 하였다. 구조 안정성 문제를 검토 시 네 가지 패치 로딩 형 태와 종횡비 효과, 주변지지조건을 적용하여 각각의 임계 탄성좌굴하중을 산출하였다. 또한 상기 참고문헌과 달리 알 루미늄 합금 박판(thin plate)를 고려하기 위해 Reissner-Mindlin 판이론에 근거한 4절점 쉘요소를 사용하였으며 이에 해당하 는 ANSYS 요소는 shell181을 선택하였다.

2판의 좌굴방정식 및 유한요소 정식화

2.1판의 좌굴방정식

판의 좌굴에 관한 미분방정식은 작용하는 면내하중에 의 해 판이 좌굴하기 시작할 때 좌굴변형으로 인한 수직하중 분력의 굽힘을 이용하여 나타낼 수 있다. 판에 작용하는 면 내하중은 x, y방향 면내하중 N_x, N_y와 전단하중 N_xy으로 작용한다. 이 면내하중은 단위 폭에 대하여 식(1)과 같이 나 타낼 수 있다.

면내하중이 작용하는 미소요소에서 x와 y방향 하중 평형 조건으로부터 식(2)와 같은 평형방정식으로 나타낼 수 있다.

z방향에 대한 하중 평형조건을 만족하기 위해서는 x, y 방향 면내하중과 전단하중 N_xy에 의해서 생기는 판 좌굴로 인해 발생하는 곡률에 의한 분력을 고려하여 평형조건을 만 족시켜야 한다. 따라서 N_x와 N_y에 의한 z방향 수직하중의 분력은 식(3)과 같다.

식(3)에서 고차항은 미소하므로 이를 소거하면 x, y방향 면내하중에 의한 수직하중의 분력은 식(4)와 같이 나타낼 수 있다.

전단하중 N_xy에 의한 수직하중의 분력은 식(5)와 같이 나 타낼 수 있다.

전단하중 N_yx = N_xy 을 고려하면 전단하중에 의한 모든 수 직하중의 분력은 식(6)과 같다.

면내하중과 전단하중에 의한 수직하중의 분력을 요소면 적 dx, dy에 대한 평형방정식에 대입하면 식(7)로 나타낼 수 있다.

식(7)의 수직하중의 분력은 판이 좌굴변형을 시작할 때 수 직 하중항이 추가되어 판의 좌굴방정식은 식(8)로 나타낼 수 있다.

2.2유한요소 정식화

요소 내 임의의 점에서 보간 함수(interpolation function)를 이용하여 독립변수 x, y, z 을 식(9)과 같은 절점좌표로 근사 시킬 수 있다.

여기서, NN 는 요소의 절점 수를 나타낸다.

절점좌표에 대한 장변수(field variables)는 변위 u₀, v₀, w₀ 와 회전 θ_x, θ_y, θ_z을 식(10)-식(11)와 같은 절점변수로 나타 낼 수 있다.

여기서, N_i는 4절점요소에 대한 표준 형상함수이다. x_i, y_i, z_i는 절점좌표이며 u_i, v_i, w_i와 θ_xi , θ_yi, θ_zi는 절점변위와 회전을 의미한다.

비선형과 선형 변형률성분은 보간 함수와 요소 절점변수 로 정의할 수 있으며 식(12)으로 나타낼 수 있다(Singh et al., 2012). 본 연구에서는 고유치 좌굴해석을 수행하여 임계 탄 성 좌굴하중 계수를 구하므로 선형 변형률 성분을 적용한 다.

여기서, [B_L] 과 [B_NL] 은 {δ} = u_iv_iw_iθ_δθ_yiθ_zi 을 가진 절 점변수에 대한 비선형과 선형 변형률성분에 관한 행렬형태 이며 보간 함수의 도함수를 포함하고 있다. 따라서 요소강 성행렬 [K_E] 와 기하강성행렬 [K_G], 연속하중벡터 {F} 식(13)-식(15)로 나타낼 수 있다.

여기서, [D] 는 응력합력(stress resultants)과 변형률(couples with strain), 변형된 판에서 곡률(curvatures) 등에 대한 재료물 성치 상수이며 [K_E] 와 [K_G]는 요소강성행렬과 기하강성행 렬이며 {σ}는 응력합력을 포함한 벡터이다. p는 적용한 선 하중이며 이 요소행렬은 표준적분을 이용하여 식(16)와 같은 면내하중 전좌굴(in-plane loading pre-buckling) 또는 정적선형 방정식으로 나타낼 수 있다.

식(16)으로 평가하여 응력상태를 산출할 수 있으며 기하 강성행렬 [K_G]은 전좌굴 응력상태와 고유치 문제로 구성되 며 최소 고유치와 임계 탄성 좌굴하중을 추출 해석하며 강 성행렬을 고려한 극점 “영()”을 만족하는 식(17)으로 나타 낼 수 있다.

본 연구에서는 유한요소해석 코드를 이용하여 Fig. 1과 같 은 방법으로 적용한다. Fig. 1은 유한요소법을 이용한 선형좌 굴해석 절차를 나타내고 있는 흐름도(flow chart)를 유한요소 정식화를 반영하여 표현하고 있다.

3해석모델과 방법

박판구조는 선박의 갑판, 교량의 상자형 거더, 해양구조물 의 플랫폼, 항공 산업 등에서 사용하고 있는 것처럼 다양한 구조에서 적용하고 있다. 이런 구조는 균일 축 압축하중을 받는 판 부재는 불안정성 또는 좌굴이 발생하기가 쉬우며 비균일 축 압축하중 또는 패치 로딩(또는 국부 모서리 하중) 등을 경험을 하게 된다. 따라서 패치 로딩을 받는 판은 흥미 있는 연구가 될 것으로 생각한다. 본 연구에서 종 방향 패치 로딩을 받는 알루미늄 합금 A6082-T6 사각형 등방성 판의 탄성좌굴거동을 검토하였다. 해석솔루션은 유한요소법을 이 용하여 고유치 좌굴해석을 수행한 후 도출하였다. Fig. 2에서 나타낸 것처럼 패치 로딩을 네 가지 형태로 확대하여 검토 하였다. 패치 로딩은 네 가지 하중형태에서 동일하게 유지 하도록 하중을 적용하였으며 N_x는 판 모서리에서 단위 길 이 당 균일하게 적용되는 하중강도이며 모서리 길이 20 % 패치 로딩의 하중강도는 5N_x크기로 증가시켰다. 패치 로딩 을 받는 판의 탄성 좌굴하중에 관한 판의 종횡비 영향은 본 연구에서 나타내었다. 사각형 판의 고유치 좌굴해석은 다음 과 같이 여섯 가지 가정으로 나타내어 수행하였다.

균일 축 압축하중을 받는 단순지지 사각형 판의 좌굴문제 는 Timoshenko and Gere(1961)에 의해 처음으로 연구되었으며 Gerstle(1967)에 의해 수정 보완되었다. 지배방정식에서 일차 항을 고려한다면 임계 탄성 좌굴응력은 식(18)과 같이 정의 할 수 있다.

여기서, k는 판의 무차원 임계 탄성좌굴하중계수이며 하중 형태, 모서리 지지조건, 판 종횡비, 탄성계수, 프와송 비에 각각 의존된다. 균일 축 압축하중을 받는 단순지지 사각형 판의 임계 탄성좌굴하중계수는 식(19)로 적용하여 구할 수 있다.

여기서, m은 좌굴에서 판의 종 방향에 발생하는 반파 수로 대응되며, 즉, 판의 좌굴모드를 정의한다.

식(19)에서 재료상수로 도입한다면 식(20)과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, t와 b은 각각 판 두께와 폭이다. k는 임계 탄성좌굴 하중계수이며 하중형태, 주변지지조건, 판의 종횡비에 의존 된다. 재료상수 C_m은 C_m= π 2 E 12 1 − v 2 으로 정의할 수 있다.

Pflger(1975)에 따른 단순지지 사각형 판의 임계 탄성좌굴 하중계수는 Fig. 3에서 나타낸 것처럼 종횡비 a/b > 1.0일 경 우 최소값 3.6에서 수렴하고 있는 것을 볼 수 있다. 해석적 탄성 좌굴하중 간이식은 식(21)으로 정의할 수 있다.

사용 임계 탄성좌굴하중은 식(20)에서 도출할 수 있는 임 계 탄성좌굴하중계수 N_xb²/Et³로 무차원하여 적용하 였다.

면내 xy평면에서 사각형 판의 길이 a는 x축으로 나타냈 으며 폭 b는 y축으로 두께 t는 z축으로 정의하였다. 판의 중앙 평면은 xy평면에 일치한 것으로 가정하였다. 사각형 판의 치수는 1,000×1,000 mm를 기반으로 길이를 100-400 mm 까지 변화시켜 종횡비를 다르게 선정하였다. 판두께(t)는 4 mm 이다. 재료물성치는 A6082-T6의 탄성계수(E) 70GPa와 프와 송비(v) 0.3을 적용하였다. 판은 Reissner-Mindlin 판이론에 근 거한 4절점 쉘요소를 사용하여 모델링하였다. 요소크기는 폭을 기준으로 하여 b/40을 선택하여 고유치 좌굴해석을 수 행하였다(ANSYS, 2000). 주변지지조건은 아래와 같이 적용 했으며 적용형태는 네 변 단순지지(SSSS), 네 변 고정지지 (CCCC), 하중변 단순지지와 비하중변 고정지지(SCSC), 하중 변 고정지지와 비하중변 단순지지(CSCS) 조건인 네 가지 형 태로 적용하였다. 또한, 직선을 유지하고 동일한 변위가 발 생하도록 탄성커플링 조건을 적용하였다.

4해석고찰 및 토의

유한요소해석으로부터 얻은 해석결과는 1차 고유치 좌굴 모드를 반영하여 도출하였다. 3절에서 설명한 것처럼 임계 탄성좌굴하중계수를 무차원 형태인 N_xb²/Et³로 나타내었다. Table 1은 하중 IV(Loading type IV)를 적용한 단순지지와 고 정지지 사각형 판의 탄성 임계좌굴계수를 Sundaresan et al. (1998)와 Singh et al.(2012)의 결과와 탄소성 대변형 시리즈 해 석 결과를 비교 검토하였으며 약 96 % 정도 만족하는 결과 를 나타내었다. Fig. 4~7은 네 가지 형태의 패치 로딩을 받는 사각형 판의 임계 탄성좌굴하중계수를 종횡비 효과와 주변 지지조건을 변화하여 나타내었다. 이 결과로부터 사각형 판 의 임계 탄성좌굴하중은 패치 로딩뿐만 아니라 증가하는 종 횡비 효과에서도 상당히 영향을 받고 있는 것을 관찰할 수 있다. Fig. 4는 하중길이와 종횡비 효과를 변화시켜 네 가지 패치 로딩을 받는 단순지지 사각형 판에 대한 임계 탄성좌 굴하중계수로 나타내고 있다. 균일 축 압축하중을 받는 사 각형 판의 임계 탄성좌굴하중과 비교 시 하중길이가 증가하 면서 하중 II와 하중 IV는 상대적으로 임계 탄성좌굴하중계 수를 감소시키며 하중 I과 하중 III은 증가시키고 있다. 균일 축 압축하중의 임계 탄성좌굴하중계수와 비교 시 하중 II와 하중 IV의 하중길이가 200 mm 경우 임계 탄성좌굴하중계수 는 19.3 %와 60.5 % 증가하였다. 반면에 하중 I과 하중 III의 임계 탄성좌굴하중계수는 32.8 %와 23.5 % 감소하였다. 이는 하중 위치에 따라 임계 탄성좌굴하중계수 크기가 상이하게 발생하고 있는 것을 관찰할 수 있다. 고정지지 사각형 판의 임계 탄성좌굴하중계수는 Fig. 5에서 나타낸 것처럼 하중 IV 의 200 mm 하중길이 임계 탄성좌굴하중계수는 균일 축 압축 하중과 비교 시 36.9 % 증가하며 하중 I, 하중 II, 하중 III은 각각 30.5 %, 3.7 %, 24.9 %, 감소하지만 하중형태에 영향을 받는 종횡비 증가에 따라 감소하는 것을 관찰할 수 있다. Fig. 6~7은 단순지지와 고정지지의 비하중변 주변지지조건의 특성에 따라 두 가지 형태로 주변지지조건을 분류하여 고유 치 좌굴해석을 수행하여 사각형 판의 임계 탄성좌굴하중계 수를 도출하여 하중길이에 따른 임계 탄성좌굴하중계수의 영향을 검토하였다. 균일 축 압축하중을 받는 사각형 판의 탄성좌굴 거동은 종횡비가 증가하면서 하중변이 고정이고 비하중변이 단순지지가 될 경우 비하중변의 주변지지조건 에 비해 하중변이 회전구속이 고정에 가까움에 따라 임계 탄성좌굴하중을 높게 평가하는 경향을 보인다. 하중 II와 하 중 IV은 하중이 가장자리에 위치해 있어 비하중변 주변지지 조건에 구분 없이 임계 탄성좌굴하중을 높게 평가하며 하중 길이가 증가하면서 비하중변의 주변지지조건 특성을 반영 하는 것으로 관찰할 수 있다. 이는 앞에서 설명했듯이 하중 변의 회전구속에 따라 상이하게 임계 탄성좌굴하중을 발생 시킬 것으로 생각한다. 하중 I와 하중 III은 위치가 중앙에서 적용하므로 비하중변 특성을 균일 축 압축하중의 특성과 유 사하게 반영한다. Table 2-5는 주변지지조건에 따른 종횡비 효과와 패치 로딩 효과를 고려한 임계 탄성좌굴하중계수를 나타내고 있다. Table 3 Table 4

Fig. 8은 하중 IV의 200 mm 패치 로딩을 받는 주변지지조 건 영향을 고려한 알루미늄 합금 A6082-T6 사각형 판에 대 한 고유치 좌굴모드를 나타내고 있다. Fig. 9는 하중 IV에 대 한 임계 탄성좌굴하중계수와 종횡비 상관관계에 주변지지 조건을 고려하여 나타내었다.

5결 론

알루미늄 합금 A6082-T6 사각형 판의 탄성좌굴거동을 네 가지 주변지지조건과 다른 패치 로딩 형태, 종횡비 효과를 고려하여 검토하였다. 다양한 패치 로딩을 받는 판은 균일 축 압축하중과 비교 시 상이한 탄성 좌굴거동을 발생되는 것을 관찰할 수 있었다. 패치 로딩을 받는 판 부재는 하중형 태와 위치, 종횡비 효과 등에 상당히 영향을 받는 것으로 확 인할 수 있었으며 본 연구에서 수행했던 하중 II와 하중 IV 는 하중 I과 하중 III보다 훨씬 더 탄성 좌굴거동에 강한 것 으로 판단할 수 있다. 본 연구에서 고려한 네 가지 주변지지 조건에 대한 탄성 좌굴거동에 관한 영향은 비하중변 주변지 지조건에 따라 상이한 거동을 나타내었다. 이것은 탄성설계 개념을 도입한 좌굴강도설계를 하고자 할 때는 네 변 단순 지지와 고정지지 조건을 좌굴강도 설계기준으로 평가하는 것이 타당할 것으로 생각한다. 앞으로 비선형 좌굴해석(또는 탄소성 대변형 시리즈 해석)을 수행하여 패치 로딩 형태, 종 횡비 효과, 주변지지조건 등에 관한 영향을 검토하여 패치 로딩을 받는 알루미늄 합금 A6082-T6 판에 대한 기하학적, 재료적, 역학적 특성을 고려하여 초기 구조 설계 시 반영하 고자 한다.